5.4

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Il se montre ici qu’il n’y a pas d’ « objets logiques », de « constantes logiques » (au sens de Frege et de Russell).

5.41    Car sont identiques tous les résultats d’opérations de vérité sur des fonctions de vérité, s’ils sont une seule et même fonction de vérité de propositions élémentaires.

5.42    Que v,  HOOK , etc. ne sont pas des relations au sens de : à droite de, à gauche de, etc., c’est évident.

La possibilité de définitions réciproques des « signes primitifs » logiques de Frege et Russell montre déjà que ce ne sont pas des signes primitifs, et encore mieux qu’ils ne désignent aucune relation.

Et il est patent que le «  HOOK  » que nous définissons au moyen de « ~ » et de « v » est identique à celui au moyen duquel nous définissons « v » en usant de « ~ », et que ce « v » est identique au premier. Et ainsi de suite.

5.43    Qu’à partir du fait p doivent s’ensuivre une infinité d’autres faits, à savoir ~~p, ~~~~p, etc., voilà qui est au premier abord a peine croyable. Et il n’est pas moins remarquable que le nombre infini des propositions de la logique (de la mathématique) suivent d’une demi-douzaine de « lois fondamentales ».

Mais toutes les propositions de la logique disent la même chose. À savoir : rien.

5.44 (2)   Les fonctions de vérité ne sont pas des fonctions matérielles.

Si l’on peut, par exemple, engendrer une affirmation par une double négation, la négation est-elle donc alors – en un certain sens – contenue dans l’affirmation ? « ~~p » nie-t-il ~p, ou affirme-t-il p, ou les deux à la fois?

La proposition « ~~p » ne traite pas la négation comme un objet ; mais la possibilité de la négation est déjà préjugée dans l’affirmation.

Et s’il y avait un objet nommé « ~ », « ~~p » devrait dire autre chose que « p ». Car l’une proposition traiterait justement de ~, l’autre point.

5.45 (4)  S’il y a des signes logiques primitifs, une logique correcte doit rendre claire leur position relative et justifier leur existence. La construction de la logique à partir de ses signes primitifs doit être rendue claire.

5.46 (1)  Si l’on introduisait correctement les signes logiques, on aurait du même coup déjà introduit le sens de toutes leurs combinaisons ; donc, non seulement « p v q », mais encore « ~(p v ~q) », etc. etc. On aurait introduit déjà du même coup l’effet de toutes les combinaisons possible de parenthèses. Et il serait par là devenu clair que les authentiques signes primitifs généraux ne sont pas les « p v q », « ( EXISTS x).fx», etc., mais plutôt la forme la plus générale de leurs combinaisons.

5.47 (6)  Il est clair que tout ce qui peut être dit par avance de la forme de toutes les propositions, doit pouvoir se dire en une seule fois.

Toutes les opérations logiques sont déjà contenues dans la proposition élémentaire. Car « fa » dit la même chose que

"( EXISTS x) . fx . x=a".

Là où il y a composition, il y a argument et fonction, etc., et avec eux sont présentes toutes les constantes logiques.

On pourrait dire : L’unique constante logique est ce que toutes les propositions, de par leur nature, ont mutuellement en commun.

Mais cela, c’est la forme générale de la proposition.